（2013•荆门模拟）已知函数f（x）满足对于∀x∈R，均有f(x)+2f(−x)＝ax+2(1a)x+xlna(a＞1

解题思路：（1）对f(x)+2f(−x)＝ax+2(

1

a

)x+xlna(a＞1)分别取x与-x代入即可得出．
（2）利用导数研究函数的单调性即可得出；
（3）由（2）得 a^x-xlna≥1恒成立，令a=e，则e^x≥x+1．在e^x≥x+1中令x=-[k/n]（k=1，2，…n-1），可得1-[k/n]≤e−

k

n

，得到(1−

k

n

)n≤e−k．对k分别取k=1，2，3，…，n，然后累加求和即可证明．

（1）依题意得

f(x)+2f(−x)＝ax+2(
1
a)x+xlna
f(−x)+2f(x)＝(
1
a)x+2ax−xlna
解之得f（x）=a^x-xlna（a＞1）．
（2）f'（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna．
当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．
∴f（x））在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．
∴f（x）_min=f （0）=1．
（3）由（2）得 a^x-xlna≥1恒成立，令a=e，则e^x≥x+1．
在e^x≥x+1中令x=-[k/n]（k=1，2，…n-1），
∴1-[k/n]≤e−
k
n，∴(1−
k
n)n≤e−k．
∴（1-[1/n]）ⁿ≤e^-1，（1-[2/n]）ⁿ≤e^-2，…，（1-[n−1/n]）ⁿ≤e^-（n-1），（[n/n]）ⁿ=1．
∴（[n/n]）ⁿ+（[n−1/n]）ⁿ+（[n−2/n]）ⁿ+…+（[1/n]）ⁿ≤1+e^-1+e^-2+…+e^-（n-1）
=
1−(
1
e)n
1−
1
e＝
e[1−(
1
e)n]
e−1＜
e
e−1

点评：
本题考点： 反证法与放缩法；函数解析式的求解及常用方法；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性并利用结论证明新的结论、累加求和、求函数解析式等基础知识与基本技能方法，属于难题．