高等数学证明不等式设常数a>In2-1,证明：当x>0时,e^x>x^2-2ax+1证明：设f(x)=e^x-(x^2-
高等数学证明不等式
设常数a>In2-1,证明：当x>0时,e^x>x^2-2ax+1
证明：设f(x)=e^x-(x^2-2ax+1),则f'(x)=e^x-2x+2a,f''(x)=e^x-2.令f''(x)=0,得x=In2.
当x0.
所以f'(x)在x=In2处取到最小值,因此f'（x）>=f'(In2)=2-2In2+2a>0.于是f(x)为单调增加函数.
故当x>0时,有f(x)>f(0)=0,即e^x>x^2-2ax+1
这到题我不明白为什么当x0.
x
设常数a>In2-1,证明：当x>0时,e^x>x^2-2ax+1
证明：设f(x)=e^x-(x^2-2ax+1),则f'(x)=e^x-2x+2a,f''(x)=e^x-2.令f''(x)=0,得x=In2.
当x0.
所以f'(x)在x=In2处取到最小值,因此f'（x）>=f'(In2)=2-2In2+2a>0.于是f(x)为单调增加函数.
故当x>0时,有f(x)>f(0)=0,即e^x>x^2-2ax+1
这到题我不明白为什么当x0.
x
赞 alsp 春芽
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答案的意思是g（x）=f'(x)=e^x-2x+2a 是另外一个函数,
因为g ‘（x）=e^x-2=0 解得x=In2,说明g（x）=e^x-2x+2a 在x=In2取得极值.
当x1时是单调递增的）
说明当x>In2时,g（x)=e^x-2x+2a 单调递增.（导函数>0,原函数单调递增）
所以g（x）=e^x-2x+2a 在x=In2取得极小值,也就是g（x）≥g（ln2）=2-2ln2+2a
而由条件a>In2-1可知g（x）>0,所以f(x)=e^x-(x^2-2ax+1)为单调增加函数.
（同样,导函数>0,原函数单调递增）
因为g ‘（x）=e^x-2=0 解得x=In2,说明g（x）=e^x-2x+2a 在x=In2取得极值.
当x1时是单调递增的）
说明当x>In2时,g（x)=e^x-2x+2a 单调递增.（导函数>0,原函数单调递增）
所以g（x）=e^x-2x+2a 在x=In2取得极小值,也就是g（x）≥g（ln2）=2-2ln2+2a
而由条件a>In2-1可知g（x）>0,所以f(x)=e^x-(x^2-2ax+1)为单调增加函数.
（同样,导函数>0,原函数单调递增）
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