（2009•崇文区二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f(x)＝ax3−ax2+[f′(1)2−1]x，a∈R．

解题思路：（1）因为f′（1）为常数，故将f（x）求导，令x=1，即可用a表示f′（1）；
（2）若函数f（x）f在R上存在极值，则f′（x）=0必须有两个相异根，故△＞0，解不等式即可．

（I）f′（x）=3ax2−2ax+
f′(1)
2−1，
把x=1代入上式得f′(1)＝a+
f′(1)
2−1，
所以f′（1）=2a-2；
（II）由（1）可知：f′（x）=3ax²-2ax+a-2，
a=0时，f′（x）=-2＜0，所以f（x）在R上单调递减，无极值；
当a≠0时，若函数f（x）f在R上存在极值，则f′（x）=0必须有两个相异根．
故△＞0，即4a²-4×3a×（a-2）＞0，
即4a²-12a（a-2）＞0，
解得0＜a＜3．

点评：
本题考点： 导数的运算；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查求函数的导数、对导数的认识，及函数存在极值的条件等知识，难度不大．