已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．

解题思路：（1）由已知得|f（-1）|=|a-b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1，而|2b|=|f（1）-f（-1）|≤|f（1）|+|f（-1）|≤2可证
（2）由f（0）=-1，f（1）=1，及|f（x）|≤1对x∈[-1，1]时成立可得，函数 的对称轴x=−

b

2a

∈[−1，1]且|f（-[b/2a]）|≤1，结合已知f（0）=-1，f（1）=1可求a，b，c

证明：（1）由已知得|f（-1）|=|a-b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1
∴|2b|=|f（1）-f（-1）|≤|f（1）|+|f（-1）|≤2
∴|b|≤1
（2）若−
b
2a＜−1，则f（x）在[-1，1]为增函数，
∴f（-1）＜f（0），f（0）=-1
∴|f（-1）|＞1与|f（-1）|≤1矛盾；
若−
b
2a＞1，则f（x）在[-1，1]为减函数，
∴f（1）＜f（0）与已知矛盾．
所以−
b
2a∈[−1，1]，从而由

f(0)＝−1
f(1)＝1
|f(−
b
2a)|≤1解得

a＝2
b＝0
c＝−1
∴f（x）=2x²-1

点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查了绝对值不等式|a-b|≤|a|+|b|在解题中的应用，二次函数的在闭区间上的最值的求解，体现了分类讨论思想在解题中的应用．

1）由题意，
-1=-1=两式相加得：-2=<2b<=2
故|b|<=1
2) f(0)=c=-1
f(1)=a+b+c=a+b-1=1,得：a+b=2,得：b=2-a
f(-1)=a-b+c=a-(2-a)-1=2...