已知数列{an}的各项均是正数，其前n项和为Sn，满足（p-1）Sn=p2-an，其中p为正常数，且p≠1．

（1）由题设知（p-1）a₁=p²-a₁，解得a₁=p．…（1分）
同时

(p−1)Sn＝p2−an
(p−1)Sn+1＝p2−an+1两式作差得（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1．
所以（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，即a_n+1=
1/pan，
可见，数列{an}是首项为p，公比为
1
p]的等比数列．…（4分）
an＝p(
1
p)n−1＝(
1
p)n−2．…（5分）
（2）b_n=[1
2−logpp2−n＝
1
2−(2−n)＝
1/n]．…（7分）
b_nb_b+1=[1
n(n+1)＝
1/n−
1
n+1]．
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1=(
1
1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+(
1
3−
1
4)+…+(
1
n−
1
n+1)=1-[1/n+1]…（9分）
所以，Tn∈[
1
2，1)…（10分）
（3）a1a4a7…a3n−2＝(
1
p)−1+2+5…(3n−4)＝(
1
p)
n(3n−5)
2，
a78＝(
1
p)76由题意，要求(
1
p)
n(3n−5)
2＞(
1
p)76．…（12分）
①当p＞1时，
n(3n−5)
2＜76，即3n2-5n-152＜0．
解得-[19/3]＜n＜8．不符合题意，此时不存在符合题意的M．…（14分）
②当0＜p＜1时，
n(3n−5)
2＞76，即3n2-5n-152＞0．
解得n＞8，或n＜-[19/3]（舍去）．此时存在的符合题意的M=8．
综上所述，当0＜p＜1时，存在M=8符合题意；
当p＞1时，不存在正整数M，使得命题成立．…（16分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查数列知识的综合运用，以及证明不等式的能力，同时考查了裂项求和法，属于中档题．

1年前

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