已知双曲x29−y216=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则|MF

解题思路：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．

∵双曲线的方程为
x2
9-
y2
16=1，
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．
由

y＝x−5

x2
9−
y2
16＝1得：7x²+90x-369=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程7x²+90x-369=0的两根，
∴x₁+x₂=-[90/7]，y₁+y₂=（x₁-5）+（x₂-5）=x₁+x₂-10=-[160/7]，
∴线段PQ的中点N（-[45/7]，-[80/7]），
∴PQ的垂直平分线方程为y+[80/7]=-（x+[45/7]），
令y=0得：x=-[125/7]．又右焦点F（5，0），
∴|MF|=5+[125/7]=[160/7]．①
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=[4/3]x，其斜率k=[4/3]，直线PQ的方程为：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的第二定义得：
|PF|
|PP′|=
|PF|
x1−
a2
c=e=[c/a]=[5/3]，
∴|PF|=[5/3]x₁-[5/3]×
32
5=[5/3]x₁-3，
同理可得|QF|=3-[5/3]x₂；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-[5/3]x₂-（[5/3]x₁-3）
=6-[5/3]（x₁+x₂）
=6-[5/3]×（-[90/7]）
=[192/7]．②
∴
|MF|
|PQ|=

160
7

192
7=[5/6]．
故选B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．