高数同济六版中,证明极限的保号性时,为何取 ε=a/2,如果我取非a的值,比如 ε=1,该如何证明?

高数同济六版中,证明极限的保号性时,为何取 ε=a/2,如果我取非a的值,比如 ε=1,该如何证明?
同济高数第六版,29页,数列极限性质3,数列极限保号性的证明.
孤风望月 1年前 已收到1个回答 举报
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b1nm 幼苗

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取A/2是为了能让大家更好的理解,它是一个任意小的数,只要说明小于A就可以得到Xn大于0 了

1年前 追问

2

孤风望月 举报

谢谢，我明白你的意思，我知道取a/2或者更小有利于证明.但我还是想问，比如我在做题时候只想到取ε=1（因为按照定义来说任意ε>0)，所以，如果取ε=1该怎么证明呢？我自己试验了下，貌似证明不出来，放大或者缩小Xn都不太证；另外我也分a>1和0

举报 b1nm

柯西是一个任意小的值，它的取值不是具体的一个数，怎么能这么证呢？A也是不确定的数，是为了说明它的普遍性，A取定值了，那肯定存在这样的柯西了，你再想想

孤风望月 举报

谢谢，分给你了！我大致上发现错的地方了，原因在于我取ε=1，因为前面几道例题是取ε=1来证明具体函数极限，我就想当然，这里Xn的极限为a，表示首先Xn和a是未定的，是抽象函数的极限。而具体函数中，是先通过界定n和ε的关系来最终确定N的值，当n>N时，极限成立。而这个定理中，N以确定了，就已经界定了ε的取值不能任取，而且不能为实际值，如果取1，实际上扩大（或缩小了N的范围）。说的比较乱，用极限的几何定义比较好理解。
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