已知函数f（x）=alnx+[1/2]x2-（1+a）x．

（1）∵f′（x）=
a/x]+x-（1+a），
①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；
若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；
单调增区间是（0，a），（1，+∞）．
③当a=1时，则f′（x）=
(x−1)2
x≥0，
故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；
函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-[1/2]，
当a＞0时，f（1）＜0，
此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=-[1/2]，
此时，f（1）≥0，解得a≤-[1/2]，
故实数a的取值范围是（-∞，-[1/2]）．
（3）由（2）知，当a=-[1/2]时，
f（x）=-[1/2]lnx+[1/2]x²-[1/2]x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，
这个不等式等价于lnx≤x²-x．
当x＞1时，变换为[1/lnx]＞[1
x2−x=
1/x−1]-[1/x]，
因此不等式左边＞（[1/m]-[1/m+1]）+（[1/m+1]-[1/m+2]）+…+（[1/m+n−1]-[1/m+n]）=[1/m]-[1/m+n]=[n
m(m+n)，
从而得证．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用．

1年前

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