（2007•奉贤区二模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，以AE为直径的⊙O与过B点的⊙P外切于点

（1）∵AC和BC边的长是关于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的两根，
∴AC+BC=AB+4，AC•BC=4AB+8，
∴AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC•BC=（AB+4）²-2（4AB+8）=AB²
∴∠C=90°，
∴sinA=[BC/AB]，
∵25BC•sinA=9AB，
∴9AB²=25BC²
∴[BC/AB＝
3
5]，
设BC=3k，AB=5k，则AC=4k，
∴4k+3k=5k+4，
∴k=2，
∴BC=6，AB=10，AC=8；

（2）证明：连接BP，PO，如图1，
∵⊙O与过B点的⊙P外切于点D，
∴D在OP上，
∵OA=OD，PD=PB，
∴∠A=∠ADO，∠PDB=∠PBD，
∴∠PBD=∠A，
∴PB∥AC，
∵∠C=90°，
∴PB⊥BC，
∴BC是⊙P的切线；

（3）设⊙P的半径为r，过P作PH⊥AC于H，如图2，
∴PH=BC=6，OH=8-3-r=5-r，
在Rt△OPH中，
∴OP²=PH²+OH²，即（3+r）²=（5-r）²+6²，
解得r=[13/4]．

点评：
本题考点： 相切两圆的性质；根与系数的关系；勾股定理；切线的判定；解直角三角形．

考点点评： 本题考查了两圆相切的性质：两圆相切，连心线必过切点；也考查了一元二次方程根与系数的关系、三角函数的定义和切线的判定以及勾股定理．

1年前

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