设函数 f(x)=ln(x-1)+ 2a x (a∈R)

（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（1，+∞）， f′(x)=
1
x-1 -
2a
x 2 =
x 2 -2ax+2a
x 2 (x-1) ，
设g（x）=x ² -2ax+2a，△=4a ² -8a=4a（a-2），
①当△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f ^′ （x）≥0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，g（x）的对称轴为x=a，当x＞1时，由二次函数的单调性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f ^′ （x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
③当a＞2时，设x ₁ ，x ₂ （x ₁ ＜x ₂ ）是方程x ² -2ax+2a=0的两个根，则 x 1 =a-
a 2 -2a ＞1， x 2 =a+
a 2 -2a ，
当1＜x＜x ₁ 或x＞x ₂ 时，f ^′ （x）＞0，f（x）在（1，x ₁ ），（x ₂ ，+∞）上是增函数．
当x ₁ ＜x＜x ₂ 时，f ^′ （x）＜0，f（x）在（x ₁ ，x ₂ ）上是减函数．
综上可知：当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
当a＞2时，f（x）的单调增区间为（1，x ₂ ），（x ₂ ，+∞），单调递减区间为（x ₁ ，x ₂ ）．
（2）
ln(x-1)
x-2 ＞
a
x 可化为
1
x-2 [ln(x-1)+
2a
x -a]＞0 ，即
1
x-2 [f(x)-a]＞0 ，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h（x）在（1，+∞）是增函数．
因为当1＜x＜2时，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立；
当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立；
所以当a≤2时，（*）成立
②当a＞2时，因为f（x）在（x ₁ ，2）上是减函数，所以h（x）在（x ₁ ，2）上是减函数，所以当x ₁ ＜x＜2时，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立．
综上可知，a的取值范围为（-∞，2]．