gnlmdb 幼苗
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①在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0),
变形可得f(0)=0
②证明:因为x,y∈R时,f(x+y)=f(x)+f(y),
令y=-x,可得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)
所以f(-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数.
③设x1、x2∈R,且x1<x2,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
因为x>0时f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0,
所以f(x)为减函数.
所以f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3),最小值为f(3).
因为f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,
所以函数在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数的值域.
考点点评: 本题考查抽象函数的运用,涉及函数奇偶性、单调性的判断与应用,难点在于根据f(x+y)=f(x)+f(y),运用特殊值法,分析得到函数f(x)的性质以及函数值.
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