计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2）dxdydz 其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域.

mosalia 1年前 已收到2个回答 举报
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楚軒 幼苗

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选用柱坐标系：0≤ θ≤ 2Pi ,0≤ r ≤ 2,r^2 /2 ≤ z ≤ 2
原式 = ∫ dθ ∫ dr ∫ r^3 dz = ∫ dθ ∫ r^3 ( 2- r^2 /2 ) dr
= 2 Pi * (r^4 /2 - r^6/12) | r=2
= 16 Pi /3

1年前 追问

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mosalia 举报

0≤ r ≤ 2, r^2 /2 ≤ z ≤ 2 这个范围咋确定的 还有什么情况用柱坐标系法 原式 = ∫ dθ ∫ dr ∫ r^3 dz = ∫ dθ ∫ r^3 ( 2- r^2 /2 ) dr 不明白

举报 楚軒

上下型区域，在XOY平面的投影区域为圆域。选用柱坐标系。 本题： 上表面 z=2; 下表面 z = r^2 /2

mosalia 举报

下表面是 z = r^2 /2 怎么来的 x^2+y^2化为r^3什么意思

举报 楚軒

2z=x^2+y^2 , x=r cos θ, y=r sin θ => z= (x^2+y^2)/2 = r^2 /2 x^2+y^2 = r^2 ,别忘了，直角坐标dV =dxdydz 化为柱坐标 dV= r * dzdrdθ， 故 被积函数要乘以 r。

韩思思 幼苗

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先作里面dxdy的二重积分
jacobian=|(dx/dt)(dy/dr)-(dx/dr)(dy/dt)|=|rcos²t+rsin²t|=r
=∫∫(x²+y²) dxdy
=∫(0~2π) ∫(0~根号(2z)) r² (jacobian)drdt
=∫(0~2π) ∫(0~根号(2z)) r³ d...

1年前

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