（2012•朝阳区一模）如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上的点，

（2012•朝阳区一模）如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上的点，
（1）若CE=[1/2]CB，CF=[1/2]CD，则图中阴影部分的面积是

[2/3]

；
（2）若CE=[1/n]CB，CF=[1/n]CD，则图中阴影部分的面积是

[n/n+1]

（用含n的式子表示，n是正整数）．

东门居士 1年前已收到1个回答举报

george_xu 幼苗

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解题思路：（1）首先设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，由四边形ABCD是正方形，易证得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的对应边成比例可得[DN/DC＝

EC]，[MN/BC

＝

FC]，又由CE=[1/2]CB，CF=[1/2]CD，设MN=x，FN=y，即可得

=2，[x/y]=2，继而求得MN的长，则可求得△BCF和△DMF的面积，继而求得图中阴影部分的面积；
（2）首先设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，由四边形ABCD是正方形，易证得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的对应边成比例可得[DN/DC

＝

EC]，[MN/BC

＝

FC]，又由CE=[1/n]CB，CF=[1/n]CD，设MN=x，FN=y，即可得

1−

=n，[x/y]=n，继而求得MN的长，则可求得△BCF和△DMF的面积，继而求得图中阴影部分的面积．

（1）设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴[DN/DC＝
MN
EC]，[MN/BC＝
FN
FC]，
∵CE=[1/2]CB=[1/2]，CF=[1/2]CD=[1/2]，
∴CE=[1/2]CD，CF=[1/2]BC，
∴[DN/MN＝
DC
EC]=2，[MN/FN＝
BC
FC]=2，
设MN=x，FN=y，
∴

1
2+y
x=2，[x/y]=2，
解得：x=[1/3]，
∴MN=[1/3]，
∴S_△BCF=[1/2]BC•CF=[1/2]×1×[1/2]=[1/4]，S_△DFM=[1/2]DF•MN=[1/2]×[1/2]×[1/3]=[1/12]，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_阴影=1-[1/4]-[1/12]=[2/3]；

（2）设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD

点评：
本题考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．

1年前

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