如图，△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是BC边上一点，连接AD

∵△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，
∴四边形ABCD是正方形．
∴AD∥BC，
当AP=BR时，分两种情况：
①点R在线段AD上，
∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
∵AP=BR，
∴△BAP≌ABR，
∴AR=BP，
在△AQR与△PQB中，
∵

∠RAQ=∠QPB
AR=BP
∠ARB=∠RBP，
∴△AQR≌△PQB，
∴BQ=QR
∴BQ：QR=1；
②点R在线段CD上，此时△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜边上的高，
∴BQ=[AB•BP/AP]=[8×6/10]=4.8，
∴QR=BR-BQ=10-4.8=5.2，
∴BQ：QR=4.8：5.2=[12/13]．
故答案为：1或[12/13]．

点评：
本题考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．

考点点评： 本题综合考查了平行线的判定，及正方形的判定，及全等三角形的判定及性质．