gyf1121 幼苗
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(1)对于任意的x∈M,则f(x)=x,∴f[f(x)]-x=f(x)-x=0;
即任意的x∈M,都有x∈N,∴M⊆N;
若设0∈N,设f(x)=x2+bx+c,f(0)=c,f[f(0)]=f(c)=c(c+b+1),可以让c+b+1=0,而c≠0;
即f[f(0)]=0,而f(0)≠0,∴0∉M;
∴M⊊N;
(2)证明:设x1∈M,x1∈N,x2∈N,f(x2)=t;
则:f[f(x2)]-x2=0,即f(t)-x2=0,f(t)=x2;
∵M是单元素集合,所以x1是方程:f(x)-x=x2+(b-1)x+c=0的唯一实根;
令g(x)=x2+(b-1)x+c,则该函数值域为[0,+∞),只有x=x1时,g(x)=0;
则由f(x2)=t得,x22+bx2+c=t,∴x22+(b-1)x2+c=t-x2>0,即t>x2;
由f(t)=x2得,t2+bt+c=x2,∴t2+(b-1)t+c=x2-t≥0,即x2≥t;
∴t>x2和x2≥t不可能,即x2∉N,即M,N都只有一个元素x1;
∴M=N.
点评:
本题考点: 集合的包含关系判断及应用.
考点点评: 考查复合函数的概念,子集的概念,真子集的概念,二次函数的值域.
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