(2013•娄底)如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在

(2013•娄底)如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
(1)求证:[AH/AD=
EF
BC];
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积;
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
是文人非骚客 1年前 已收到1个回答 举报

baxchen 幼苗

共回答了27个问题采纳率:88.9% 举报

解题思路:(1)由相似三角形,列出比例关系式,即可证明;
(2)首先求出矩形EFPQ面积的表达式,然后利用二次函数求其最大面积;
(3)本问是运动型问题,要点是弄清矩形EFPQ的运动过程:
(I)当0≤t≤2时,如答图①所示,此时重叠部分是一个矩形和一个梯形;
(II)当2<t≤4时,如答图②所示,此时重叠部分是一个三角形.

(1)证明:∵四边形EFPQ是矩形,AH是高,
∴EF∥BC,
∴△AHF∽△ADC,
∴[AH/AD=
AF
AC],
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴[EF/BC=
AF
AC],
∴[AH/AD=
EF
BC].

(2)∵∠B=45°,
∴BD=AD=4,
∴CD=BC-BD=5-4=1.
∵EF∥BC,
∴△AEH∽△ABD,
∴[AH/AD=
EH
BD],
∵EF∥BC,
∴△AFH∽△ACD,
∴[AH/AD=
HF
CD],
∴[EH/BD=
HF
CD],即[EH/4=
HF
1],
∴EH=4HF,
已知EF=x,则EH=[4/5]x.
∵∠B=45°,
∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-[4/5]x.
S矩形EFPQ=EF•EQ=x•(4-[4/5]x)=-[4/5]x2+4x=-[4/5](x-[5/2])2+5,
∴当x=[5/2]时,矩形EFPQ的面积最大,最大面积为5.

(3)由(2)可知,当矩形EFPQ的面积最大时,矩形的长为[5/2],宽为4-[4/5]×[5/2]=2.
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中:
(I)当0≤t≤2时,如答图①所示.

设矩形与AB、AC分别交于点K、N,与AD分别交于点H1,D1
此时DD1=t,H1D1=2,
∴HD1=HD-DD1=2-t,HH1=H1D1-HD1=t,AH1=AH-HH1=2-t,.
∵KN∥EF,
∴[KN/EF=
AH1
AH],即[KN

5/2=
2−t
2],得KN=

点评:
本题考点: 相似形综合题.

考点点评: 本题是运动型相似三角形压轴题,考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达式与最值、矩形、等腰直角三角形等多个知识点,涉及考点较多,有一定的难度.难点在于第(3)问,弄清矩形的运动过程是解题的关键.

1年前

9
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.112 s. - webmaster@yulucn.com