（2013•娄底）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在

解题思路：（1）由相似三角形，列出比例关系式，即可证明；
（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积；
（3）本问是运动型问题，要点是弄清矩形EFPQ的运动过程：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示，此时重叠部分是一个三角形．

（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，AH是高，
∴EF∥BC，
∴△AHF∽△ADC，
∴[AH/AD＝
AF
AC]，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴[EF/BC＝
AF
AC]，
∴[AH/AD＝
EF
BC]．

（2）∵∠B=45°，
∴BD=AD=4，
∴CD=BC-BD=5-4=1．
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABD，
∴[AH/AD＝
EH
BD]，
∵EF∥BC，
∴△AFH∽△ACD，
∴[AH/AD＝
HF
CD]，
∴[EH/BD＝
HF
CD]，即[EH/4＝
HF
1]，
∴EH=4HF，
已知EF=x，则EH=[4/5]x．
∵∠B=45°，
∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-[4/5]x．
S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4-[4/5]x）=-[4/5]x²+4x=-[4/5]（x-[5/2]）²+5，
∴当x=[5/2]时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．

（3）由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为[5/2]，宽为4-[4/5]×[5/2]=2．
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示．

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H₁，D₁．
此时DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD-DD₁=2-t，HH₁=H₁D₁-HD₁=t，AH₁=AH-HH₁=2-t，．
∵KN∥EF，
∴[KN/EF＝
AH1
AH]，即[KN

5/2＝
2−t
2]，得KN=

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题是运动型相似三角形压轴题，考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达式与最值、矩形、等腰直角三角形等多个知识点，涉及考点较多，有一定的难度．难点在于第（3）问，弄清矩形的运动过程是解题的关键．