几何,代数的分别并关系?

现代数学中各种代数的共同点就是：一个非空的集合上定义了一个或几个运算,这些运算满足一些要求,然后就开始研究这样的运算导致了一些什么样的结论,给这个集合诱导了什么样的结构.最简单的例子就是群和半群,一个群只有一个运算,通常叫做乘法,特殊情形下也可以叫做加法.有两个运算的例子就是环,性质比较好的环则可以成为域.在复杂的情形,已经有的代数结构可以附加到新的集合和新的运算上,从而有新的代数结构.这样的例子最常见的就是矢量空间.模也是一个例子,它需要依附于某个环上,而矢量空间则只是模的特例.
而几何的共同特点比较难说,大概是这样的：我们说一个集合上有某种几何结构,是因为这些结构可以图形化.所谓图形化,纯粹是一种辅助手段；所谓点、线、面,也只是一种叫法.在逻辑上,图形化并不是必需的.
有些东西就可以既是代数结构、又是几何结构.最常见的例子就是矢量空间,在初等数学中,这就表现为解析几何.在平面解析几何中,我们把 (x,y) 说成是一个点(或者一个点的坐标,都无所谓）；把一个方程 ax + by = c 说成是一条直线(或者一条直线的方程)；说点 (x,y) 在直线 ax + by = c 上,指的是 x 和 y 的值适合上述方程；说两条直线 a1 x + b1 y = c1 和 a2 x + b2 y = c2 有交点,指的是这两个方程有公共解；等等.这样,所有的代数内容都有一个几何的说法.几何的说法在逻辑上不是必需的,但它有助于我们理解、记忆和拓展思路.
苏联数学家拉舍夫斯基给希尔伯特的名著《几何基础》俄译本作了一篇导读性质的序.他在其中点穿了几何学的精髓：作为数学的几何学所关心的只是几何命题如何纯逻辑地从其中有限制的几个来推得.这些特别挑出的命题就是所谓公理.而如果从公理推得的结论完全是按照形式逻辑的法则作出的,则只要认为公理成立,所谓对象（“点”,“直线”,“平面”）和这些对象的所谓关系（“属于”,“介于”,“合同于”）究竟指的是什么就完全不起作用了.……总之,所谓“点”,“直线”,“平面”和所谓“属于”,“介于”,“合同于”（即我们所说的全等）诸关系,我们指的是只知道它们满足诸公理的一些对象和关系.
一句话,几何学中的图形化是一种虚妄.尽管图形化很有帮助,但是,一个学习几何的人如果执着于图形化的理解去看待几何学,他就没有真正理解几何学.请结合着解析几何想想这句话.解析几何其实是借图形化的语言说了一些关于坐标和方程的故事.《金刚经》中说,“凡所有相,皆是虚妄.”这话用到几何学中非常恰当.
参考文献：希尔伯特《几何基础》（第二版）中译本,科学出版社,1995年第二版.