如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE。

（1）DE与半圆O相切，
证明： 连结OD、BD，
∵AB是半圆O的直径
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点，
∴DE=BE，
∴∠EBD=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EBD=90°，
∴DE与半圆O相切；
（2）∵在Rt△ABC中，BD⊥AC，
∴ Rt△ABD∽Rt△ABC，
∴ ，即AB ² =AD·AC，
∴AC= ，
∵AD、AB的长是方程x ² -10x+24=0的两个根，
∴解方程x ² -10x+24=0得： x ₁ =4，x ₂ =6，
∵AD＜AB，
∴AD=4，AB=6，
∴AC=9，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=9
∴BC= 。