已知函数f（x）=ax3-4x+4（a∈R）在x=2取得极值．

解题思路：（Ⅰ）先求导函数，根据函数f（x）在x=2时有极值，可得f′（2）=0，从而可求出a的值，由导数的正负可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，极大值为f(−2)＝

28

3

，极小值为f(2)＝−

4

3

，要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b在两极值之外即可．

（Ⅰ）因为f（x）=ax³-4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax²-4
因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0
得a＝
1
3，经检验符合题意，所以f(x)＝
1
3x3−4x+4所以f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）
令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表：

x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ 极小值 单调递增↗所以f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；f（x）的单调减区间为（-2，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为f(−2)＝
28
3；
当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为f(2)＝−
4
3；
要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为(−∞，−
4
3]∪[
28
3，+∞)

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题以函数的极值为载体，考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的极值的求解，综合性强．

1、f'(x)=3ax^--4, x=2, 3a2^--4=0 a=1/3
f'(x)=x^--4>0 x>2,x<-2 单增
f'(x)=x^--4<0 -22、f(x)=1/3x^3-4x+4=b,
令F(x)=1/3x^3-4x+4--b 画出简图，易得：F(-2)>=0和F(2)<=0
解得：-4/3<=b<=28/3

（1）
f(x)'=3ax^2-4
a<0时无极值
f(x)'=0=>x=√(4/3a)或-√(4/3a)
所以√(4/3a)=2
=>a=1/3
f(x)'=x^2-4
(-∞,-2]f(x)'>0,单增
(2,-2)f(x)'<0,单减
(2,+∞)f(x)'>0,单增
（2）f(x)=(1/3)x^3-4x+4=...

将x=2带入到方程中得a=1/2