设x=3是函数f(x)＝e3(x2+ax+b)ex，(a＞0，x∈R)的一个极值点．

解题思路：（1）由已知中函数f(x)＝

e3(x2+ax+b)

ex

，(a＞0，x∈R)的一个极值点是x=3．我们根据函数在某点取得极值的条件，易得f′（3）=0，进而构造方程求出a与b的关系式，分析函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
（2）根据g(x)＝(a2+

25

4

)ex，利用导数法确定函数的单调性，再根据（1）的结论，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

（1）∵f(x)＝
e3(x2+ax+b)
ex，(x∈R)，
∴f′(x)＝
e3(−x2+2x−ax+a−b)
ex，
∵函数f(x)＝
e3(x2+ax+b)
ex，(a＞0，x∈R)的一个极值点是x=3．
∴f′(3)＝
e3(−32+2×3−3a+a−b)
e3＝0，
∴b=-2a-3，
∵a＞0，令f′(x)＝
e3(−x2+2x−ax+3a+3)
ex＞0，
即x²-（2-a）x-（3+1）a＜0
解得：-1-a＜x＜3，
所以f（x）的单调递增区间是：[-1-a，3]；
（2）由（1）可得，函数f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴f_max（x）=f（3）=a+6，且f(0)＝−(2a+3)e3＜f(4)＝
e3(13+2a)
e4
∴函数f（x）在x∈[0，4]的值域为[-（2a+3）e³，a+6]，
又g′(x)＝(a2+
25
4)ex＞0，
∴g（x）在[0，4]上单调递增，
故g（x）在x∈[0，4]的值域为[a2+
25
4，(a2+
25
4)e4]，
若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，
等价于|f_max（x）-g_min（x）|＜1或|g_max（x）-f_min（x）|＜1，
又∵a2+
25
4≥a+6，
于是：

(a2+
25
4)−(a+6)＜1
a＞0

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知中的函数的解析式，结合导数公式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．