已知,如图再矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P.Q分别是边BC,CD上的点 （1）如图1所示若AP垂直PQ,BP=2

（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°
∴∠CPQ+∠PQC=90°
∵AP⊥PQ
∴∠CPQ+∠APB=90°
∴∠APB=∠PQC
∴△ABP≌△PCQ
∴CQ=3；
（2）解法一：取BP的中点H,连接EH,由
设CQ=a,则BP=2a
∵E,F,G,H分别为AP,PQ,PC,BP的中点
∴EH∥AB,FG∥CD
又∵AB∥CD,∠B=∠C=90°
∴EH∥FG,EH⊥BC,FG⊥BC
∴四边形EHGF是直角梯形
∴EH= AB=2,FG= CQ= a,HP= BP=a,HG=HP+PG= BC=4
∴S梯形EHGF= （EH+FG）•HG= （2+ a）•4=4+a,S△EHP= HP•EH= a•2=a
∴S四边形EPGF=S梯形EHGF-S△EHP=4+a-a=4；
解法二：连接AQ,由 =2,设CQ=a,则BP=2a,DQ=4-a,PC=8-2a,S△APQ=S矩形ABCD-S△ABP-S△PCQ-S△ADQ
=4×8- •2a•4- （8-2a）a- ×8（4-a）
=a2-4a+16
∵E,F,G分别是AP,PQ,PC的中点
∴EF∥AQ,EF= AQ．∴△PEF∽△PAQ
∴ ,S△PEF= S△APQ= （a2-4a+16）
同理：S△PFG= S△PCQ= a（8-2a）
∴S四边形EPGF=S△PEF+S△PFG
= （a2-4a+16）+ a（8-2a）=4．点评：本题利用了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,三角形和梯形的面积公式求解．

因为AP垂直于PQ，所以角APB+角CPQ=90，
所以三角形APB与三角形PCQ相似，
所以AB/BP=PC/CQ，
即：4/2=（8-2）/CQ，所以CQ=3。