已知函数f(x)＝alnx+12x2−(1+a)x(x＞0)，其中a为实数．

（1）∵f(x)＝alnx+
1/2x2−(1+a)x(x＞0)，
∴f′(x)＝
a
x+x−(1+a)，x＞0，
①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；
若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；
单调增区间是（0，a），（1，+∞）．
③当a=1时，则f′(x)＝
(x−1)2
x≥0，
故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；
函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-
1
2−a，
当a＞0时，f（1）＜0，
此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=-
1
2−a，
此时，f（1）≥0，解得a≤-
1
2]，
故实数a的取值范围是（-∞，-[1/2]）．
（3）由（2）知，当a=-[1/2]时，
f（x）=-[1/2lnx+
1
2x2−
1
2x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，
这个不等式等价于lnx≤x²-x．
当x＞1时，变换为
1
lnx＞
1
x2−x＝
1
x(x−1)＝
1
x−1−
1
x]，
在上面的不等式中，
令x=m+1，m+2，…，m+n，则有
[1
ln(m+1)+
1
ln(m+2)+…+
1
ln(m+n)＞(
1/m−
1
m+1)+(
1
m+1−
1
m+2)+…+(
1
m+n−1]-[1/m+n)，
即对任意的正整数m，n，不等式
1
ln(m+1)+
1
ln(m+2)+…+
1
ln(m+n)＞

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用．

1年前

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