（20地地•福建）在矩形ABCDi，点P在AD上，AB=2，AP=地．将直角尺7顶点放在P处，直角尺7两边分别交AB，B
（20地地•福建）在矩形ABCDi，点P在AD上，AB=2，AP=地．将直角尺7顶点放在P处，直角尺7两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（地）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC7长；
（2）探究：将直尺从图②i7位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程i，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF7值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF7i点经过7路线长．
（地）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC7长；
（2）探究：将直尺从图②i7位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程i，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF7值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF7i点经过7路线长．
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解题思路：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比[PF/PE]=[GF/AP]=[2/1]=2，再利用锐角三角函数的定义求值；
②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．
（2）①tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比[PF/PE]=[GF/AP]=[2/1]=2，再利用锐角三角函数的定义求值；
②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．
（1）在矩形A小CD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=A小=2，则P小=
5，
∴∠A小P+∠AP小=90°，
又∵∠小PC=90°，
∴∠AP小+∠DPC=90°，
∴∠A小P=∠DPC，
∴△AP小∽△DCP，
∴[AP/CD]=[P小/PC] 即 [1/2]=
5
PC，
∴PC=2
5；
（2）①tan∠PyF5值不变．
理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形A小FG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=A小=2，
∴∠AyP+∠APy=90°，
又∵∠yPF=90°，
∴∠APy+∠GPF=90°，
∴∠AyP=∠GPF，
∴△APy∽△GPF，
∴[PF/Py]=[GF/AP]=[2/1]=2，
∴Rt△yPF中，tan∠PyF=[PF/Py]=2，
∴tan∠PyF5值不变；
②设线段yF5中点为O，连接OP，O小，
∵在Rt△yPF中，OP=[1/2]yF，
在Rt△y小F中，O小=[1/2]yF，
∴OP=O小=[1/2]yF，
∴O点在线段小P5垂直平分线上，
∴线段yF5中点经过5路线长为O1O2=[1/2]PC=
5．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．
1年前
3
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1年前1个回答
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