点P是△ABD中AD边上一点，（1）如图1，当P为AD中点时，则有S△ABP=[1/2][1/2]S△ABD；（2）如图
点P是△ABD中AD边上一点，
（1）如图1，当P为AD中点时，则有S△ABP=
（2）如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC的面积为S1，△ABC的面积为S2，△DBC的面积为S3．
①当AP=[1/2]AD时，如图3，试探究S1、S2、S3之间的关系？写出求解过程；
②一般地，当AP=[1/n]AD（n表示正整数）时，试探究S1、S2、S3之间的关系？写出求解过程．
（1）如图1，当P为AD中点时，则有S△ABP=
[1/2]
[1/2]
S△ABD；（2）如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC的面积为S1，△ABC的面积为S2，△DBC的面积为S3．
①当AP=[1/2]AD时，如图3，试探究S1、S2、S3之间的关系？写出求解过程；
②一般地，当AP=[1/n]AD（n表示正整数）时，试探究S1、S2、S3之间的关系？写出求解过程．
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解题思路：（1）根据三角形中线的性质可得S△ABP与S△ABD之间的关系；
（2）①根据三角形中线的性质可得S△ABP=[1/2]S△ABD，S△CDP=[1/2]S△CDA，再根据S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP可得S1、S2、S3之间的关系；
②根据高相等的两个三角形面积与底边的关系可得S△ABP=[1/n]S△ABD，S△CDP=[n−1/n]S△CDA，再根据S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP可得S1、S2、S3之间的关系．
（2）①根据三角形中线的性质可得S△ABP=[1/2]S△ABD，S△CDP=[1/2]S△CDA，再根据S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP可得S1、S2、S3之间的关系；
②根据高相等的两个三角形面积与底边的关系可得S△ABP=[1/n]S△ABD，S△CDP=[n−1/n]S△CDA，再根据S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP可得S1、S2、S3之间的关系．
（1）S△ABP=[1/2]S△ABD；
（2）①当AP=[1/2]AD时（如图2）：
∵AP=[1/2]AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=[1/2]S△ABD．
∵PD=AD-AP=[1/2]AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=[1/2]S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-[1/2]S△ABD-[1/2]S△CDA
=S四边形ABCD-[1/2]（S四边形ABCD-S△DBC）-[1/2]（S四边形ABCD-S△ABC）
=[1/2]S△DBC+[1/2]S△ABC．
②S△PBC=[1/n]S△DBC+[n−1/n]S△ABC；
∵AP=[1/n]AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=[1/n]S△ABD．
又∵PD=AD-AP=[n−1/n]AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=[n−1/n]S△CDA
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-[1/n]S△ABD-[n−1/n]S△CDA
=S四边形ABCD-[1/n]（S四边形ABCD-S△DBC）-[n−1/n]（S四边形ABCD-S△ABC）
=[1/n]S△DBC+[n−1/n]S△ABC．
∴S△PBC=[1/n]S△DBC+[n−1/n]S△ABC．
点评：
本题考点： 三角形的面积．
考点点评： 考查了三角形的面积，关键是熟悉三角形中线的性质，高相等的两个三角形面积与底边成正比的关系．
1年前
4
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