证明：如果随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则Dξ=q/p^2

证明如下:
∵ξ服从几何分布,g(k,p)=qk-1p,
∴Eξ=1×p+2×qp+3×q2p+…k×qk-1p+…=p(1+2q+3q2+…+kqk-1+…)
令S=1+2q+3q2+…+kqk-1+…,
为了得到S的值,不妨先来求其前n项的和.
Sn=1+2q+3q2+…+kqk-1+…+nqn-1,
这种形式的式子求和要用到等比数列求和的方法:乘公比错位相减法.于是有
qSn=q+2q2+3q3+…(k-1)qk-1+…+(n-1)qn-1+nqn,两式相减,得
(1-q)Sn=1+q+q2+…+qk-1+…+qn-1－nqn=(1-qn)/(1-q)－nqn,
∴Sn=[1-qn-n(1-q)qn]/(1-q)2,
于是当n→+∞时,Sn→S=1/(1-q)2=1/p2,(∵1-q=p)
所以,Dξ=q×1/p2

Dξ=E(ξ^2)-(Eξ)^2
E(ξ^2)=p+2^2*qp+3^2*q^2*p+……+k^2*q^(k-1)*p+……
=p(1+2^2*q+3^2*q^2+……+k^2*q^(k-1)+……)
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：k^2*q^(k-1)=(k*q^k)',并用倍差法求和，有
1+2^2*q+3^2*q^2+……+k^2*q^(...