设A是n（n>=2)阶矩阵,A^2=A,但A不为E,A*是A的伴随矩阵,证明:A*不可逆

ly9102 1年前 已收到2个回答 举报
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airaxiaoyan 幼苗

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A²=A => A(A-E)=O
若A可逆,则可推出:A-E=O,即A=E,矛盾
所以A不可逆 ,可推出行列式|A|=0
所以AA* = |A|E =O
若A*可逆 ,则可推出:A=O ,进而A*=O (∵A的任意余子式为0)
与A*可逆矛盾
所以A*不可逆

1年前

5

蒙古兵 幼苗

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由题意有A(A-E)=0,E为单位阵，A不为E，故A-E不等于0；记
A-E=（b1,b2,b3,..,bn）,则存在A-E列向量bi不为0，由A(A-E)=0有Abi=0；这说明A不可逆，否则有两边同时乘以A^(-1)得bi=0矛盾；
又由于(A*)A =|A|E=0；若A不为0,仿照上述证明有A*不可逆；若A=0则自然有A* =0,不可逆。...

1年前

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