求幂级数的和函数 下图中的第18题,请高手给出思路和大致解题过程,

因为a[n+1]/a[n]=1
当x=1发散
当x=-1收敛
收敛域为x∈[-1,1)
S(x)=∑(n=0~∞)[(n+1-1)/(n+1)]x^n
=∑(n=0~∞)x^n-∑(n=0~∞)[1/(n+1)]x^n
=1/(1-x)-1/x∑(n=0~∞)[1/(n+1)]x^(n+1)
令s1(x)=∑(n=0~∞)[1/(n+1)]x^(n+1)
s1'(x)=∑(n=0~∞){[1/(n+1)]x^(n+1)}‘=∑(n=0~∞)x^n=1/(1-x)
s1(x)=s1(0)+∫(0,x)1/(1-x)dx=-ln(1-x)
所以
S(x)=1/(1-x)+(1/x)ln(1-x),x≠0
又和函数在收敛域内连续有
S(0)=lim(x->0)S(x)=lim(x->0)[1/(1-x)+(1/x)ln(1-x)]=1-1=0,
所以
S(x)=1/(1-x)+(1/x)ln(1-x),x≠0
=0,x=0