已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心

解题思路：要证MP分别与⊙A和⊙B相切，如图示，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得PA²=AC²=AE•AB，PB²=BD²=BF•AB．两式相减可得PA²-PB²=AB（AE-BF），又PA²-PB²=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB），于是有AE-BF=PA-PB，即PA-AE=PB-BF，所以PE=PF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDEF的中位线，于是得MP⊥AB，进而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．

证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，∴△ACB∽△AEC，...

点评：
本题考点： 相切两圆的性质；射影定理．

考点点评： 这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，同学们应熟练掌握．