将函数f(x)=ln√(x+2)展开成x的幂级数,并写出它的收敛区间

f(x) = ln√(x+2) = 1/2 * ln(x+2)
令 g(x) = ln(x+2),g(0) = ln 2；
[ln(x+2)] ' = 1 / (x+2),g'(0) = 1/2；
[ln(x+2)] '' = -1 / (x+2)^2,g''(0) = -1 / 2^2；
[ln(x+2)] ''' = 2 / (x+2)^3,g''(0) = 2!/ 2^3；
一般有：[ln(x+2)] ^(k) = (-1)^(k-1) * (k-1)!/ (x+2)^k,g^(k)(0) = (-1)^(k-1) * (k-1)!/ 2^k；
根据泰勒展开式有：
∴ ln(x+2) = ln 2 + x/2 - x^2 / (2^2 * 2) + x^3 / (3 * 2^3) + ......+ (-1)^(n-1) * x^n / (n * 2^n) + .
f(x) = ln√(x+2) = 1/2 * ln(x+2) =
ln 2 / 2 + x / 2^2 - x^2 / (2 * 2^3) + x^3 / (3 * 2^4) + ......+ (-1)^(n-1) * x^n / (n * 2^(n+1)) + .
收敛区间(-2,2].（注意：定义域要求 x + 2 > 0,x > -2）