如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是CB、CD、CC的中点,求直线A1C与平面ABCD

如图,在棱长为ɑ 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是CB．CD．CC1的中点．
（1）求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG．

分析：（1）欲求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由于AC为A1C在平面ABCD的射影,故∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角,最后在直角三角形中求解即得；
（2）欲证平面AB1D1∥平面EFG,根据面面平行的判定定理可知,只须证明线面平行即可．在正方体ABCD-A1B1C1D1中连接BD,则DD1∥BB1,DD1=BB1,利用直线间的平行关系可证得：D1B1∥平面GEF及AB1∥平面GEF,从而问题解决．


（1）∵A1C∩平面ABCD=C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中A1A⊥平面ABCD

∴AC为A1C在平面ABCD的射影
∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角sinA1A/A1C =√3/3
正方体的棱长为a
∴AC=2√a,A1C=√3a


证明：（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中
连接BD,则DD1∥BB1,DD1=BB1,
∴D1DBB1为平行四边形
∴D1B1∥DB
∵E,F分别为BC,CD的中点
∴EF∥BD∴EF∥D1B1
∵EF⊂平面GEF,D1B1⊄平面GEF
∴D1B1∥平面GEF
同理AB1∥平面GEF
∵D1B1∩AB1=B1
∴平面AB1D1∥平面EFG．


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你的图呢，传上来

那三个重点都是迷糊人的，最终求的是角A1CA的正弦值而已，也就是A1A/A1C。
A1A就是棱长a，那A1C就是直角三角形A1AC的斜边，用勾股定理求A1C的平方=A1A的平方+AC的平方，而AC的平方有等于2倍a的平方。所以A1A=a，A1C=根号3倍的a，最后正弦值即为3分之根号3。...