（注：本题第（2）（3）两问只需要解答一问，两问都答只计第（2）问得分）

（1）∵函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即a（-x）+（-x）ln|-x+b|=-（ax+xln|x+b|）…（2分），
∴ln|-x+b|=ln|x+b|，从而b=0…（3分），
此时f（x）=ax+xln|x|，f′（x）=a+1+ln|x|…（4分），
依题意f′（e）=a+2=3，所以a=1…（5分）
（2）当x＞1时，设 g(x)=
f(x)
x-1 =
x+xlnx
x-1 ，则 g′(x)=
x-2-lnx
(x-1) 2 …（6分）
设h（x）=x-2-lnx，则 h′(x)=1-
1
x ＞0 ，h（x）在（1，+∞）上是增函数…（8分）
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以∃x ₀ ∈（3，4），使h（x ₀ ）=0…（10分），
x∈（1，x ₀ ）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，即g（x）在（1，x ₀ ）上为减函数；同
理g（x）在（x ₀ ，+∞ ₀ ）上为增函数…（12分），
从而g（x）的最小值为 g( x 0 )=
x 0 + x 0 ln x 0
x 0 -1 = x 0 …（13分）
所以k＜x ₀ ∈（3，4），k的最大值为3…（14分）．
（3）证明：要证（nm ^m ） ⁿ ＞（mn ⁿ ） ^m ，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn…（6分），
即证n（1-m）lnn＞m（1-n）lnm，
nlnn
n-1 ＜
mlnm
m-1 …（8分），
设 ϕ(x)=
xlnx
x-1 ，x＞1…（9分），则 ϕ / (x)=
x-1-lnx
(x-1) 2 …（10分）
设g（x）=x-1-lnx，则 ϕ ′(x)=
x-1-lnx
(x-1) 2 …（11分），g（x）在（1，+∞ ₀ ）上为增函数…（12分），
∀x＞1，g（x）＞g（1）=1-1-ln1=0，从而ϕ′（x）＞0，ϕ（x）在（1，+∞ ₀ ）上为增函数…（13分），
因为m＞n＞1，所以ϕ（n）＜ϕ（m），
nlnn
n-1 ＜
mlnm
m-1 ，
所以（nm ^m ） ⁿ ＞（mn ⁿ ） ^m …（14分）