根据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,如果勾是3,股是4,那么弦为5,后人
根据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,如果勾是3,股是4,那么弦为5,后人概括为“勾3,股4,弦5“
（1）观察3,4,5,；5,12,13；7,24,25；……发现这些勾股数的第一个数都是奇数,且从3起就没有间断过,计算1/2（9-1）,1/2（9+1）与1/2（25-1）,1/2（25+1）,并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股与弦的算式；
（2）根据（1）的规律,用n（n为奇数,且n≤3）的代数式,表示这些勾股数的勾、股、弦,合理猜想他们之间两种相等关系,并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；……可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用m（m为偶数,且m≥4）的代数式表示它们的股和弦.
（要求：有理有据,最好先讲解一下这类题的做法.符合要求的即为标准答案,
（1）观察3,4,5,；5,12,13；7,24,25；……发现这些勾股数的第一个数都是奇数,且从3起就没有间断过,计算1/2（9-1）,1/2（9+1）与1/2（25-1）,1/2（25+1）,并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股与弦的算式；
（2）根据（1）的规律,用n（n为奇数,且n≤3）的代数式,表示这些勾股数的勾、股、弦,合理猜想他们之间两种相等关系,并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；……可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用m（m为偶数,且m≥4）的代数式表示它们的股和弦.
（要求：有理有据,最好先讲解一下这类题的做法.符合要求的即为标准答案,
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(1)通过观察,3,4,5中,第一个数3的平方是9,则股与弦分别为1/2（9-1）,1/2（9+1）
5,12,13中,第一个数5的平方是25,则股与弦分别为1/2（25-1）,1/2（25+1）
所以在7,24,25中,第一个数7的平方是49,则股与弦分别为1/2（49-1）,1/2（49+1）
(2)勾n 股1/2(n^2-1) 弦1/2(n^2+1)
可以验证勾股定理n^2+[1/2(n^2-1)]^2=n^2+1/4(n^2-1)^2=n^2+1/4(n^4-2n^2+1)=1/4(n^4+2n^2+1)=[1/2(n^2+1)]^2
第二个等式:n+1/2(n^2-1)+1/2(n^2+1)=n^2+n即一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和.
(3)勾m 股1/4m^2-1 弦1/4m^2+1
其实这种题目就是找规律啊~
5,12,13中,第一个数5的平方是25,则股与弦分别为1/2（25-1）,1/2（25+1）
所以在7,24,25中,第一个数7的平方是49,则股与弦分别为1/2（49-1）,1/2（49+1）
(2)勾n 股1/2(n^2-1) 弦1/2(n^2+1)
可以验证勾股定理n^2+[1/2(n^2-1)]^2=n^2+1/4(n^2-1)^2=n^2+1/4(n^4-2n^2+1)=1/4(n^4+2n^2+1)=[1/2(n^2+1)]^2
第二个等式:n+1/2(n^2-1)+1/2(n^2+1)=n^2+n即一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和.
(3)勾m 股1/4m^2-1 弦1/4m^2+1
其实这种题目就是找规律啊~
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