（文）已知函数f（x）=2 x -1的反函数为f -1 （x），g（x）=log 4 （3x+1）
| （文）已知函数f（x）=2 x -1的反函数为f -1 （x），g（x）=log 4 （3x+1） （1）f -1 （x）； （2）用定义证明f -1 （x）在定义域上的单调性； （3）若f -1 （x）≤g（x），求x的取值范围． |
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（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），
由y=2 x -1得x=log 2 （y+1），
所以f -1 （x）=log 2 （x+1）（x＞-1）（4分）
（2）证明：任取-1＜x 1 ＜x 2 ，
f -1 （x 1 ）-f -1 （x 2 ）=log 2 （x 1 +1）-log 2 （x 2 +1）=log 2
x 1 +1
x 2 +1
由-1＜x 1 ＜x 2 得0＜x 1 +1＜x 2 +1，因此
0＜
x 1 +1
x 2 +1 ＜1得log 2
x 1 +1
x 2 +1 ＜0
所以f -1 （x 1 ）＜f -1 （x 2 ）
故f -1 （x）在（-1，+∞）上为单凋增函数．（9分）
（3）f -1 （x）≤g（x）即
log 2 （x+1）≤log 4 （3x+1） ⇔
x+1＞0
3x+1＞0
(x+1 ) 2 ≤3x+1 ⇔
x+1＞0
(x+1)2≤3x+1 （11分）
解之得0≤x≤1，所以x的取值范围是[0，2]（13分）
由y=2 x -1得x=log 2 （y+1），
所以f -1 （x）=log 2 （x+1）（x＞-1）（4分）
（2）证明：任取-1＜x 1 ＜x 2 ，
f -1 （x 1 ）-f -1 （x 2 ）=log 2 （x 1 +1）-log 2 （x 2 +1）=log 2
x 1 +1
x 2 +1
由-1＜x 1 ＜x 2 得0＜x 1 +1＜x 2 +1，因此
0＜
x 1 +1
x 2 +1 ＜1得log 2
x 1 +1
x 2 +1 ＜0
所以f -1 （x 1 ）＜f -1 （x 2 ）
故f -1 （x）在（-1，+∞）上为单凋增函数．（9分）
（3）f -1 （x）≤g（x）即
log 2 （x+1）≤log 4 （3x+1） ⇔
x+1＞0
3x+1＞0
(x+1 ) 2 ≤3x+1 ⇔
x+1＞0
(x+1)2≤3x+1 （11分）
解之得0≤x≤1，所以x的取值范围是[0，2]（13分）
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