已知函数f（x）=x2+2x+b（b∈R）．

（Ⅰ）由值域为[0，+∞），当x²+2x+b=0时有△=4-4b=0，即b=1．
则f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
由已知f（x）=（x+1）²＜c
解得−
c＜x+1＜
c，−
c−1＜x＜
c−1，
∵不等式f（x）＜c的解集为（k，k+6），
∴(
c−1)−(−
c−1)＝2
c＝6，
解得c=9．
（Ⅱ）当b=0时，f（x）=x²+2x，
∴
f(t)−t2−t
f(t)−2t+1＝
t
t2+1．
∵0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，
∴0＜1-m≤t≤m+1＜2．
令g(t)＝
t
t2+1，则g′(t)＝
1−t2
(t2+1)

点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查不等式的应用，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，考查学生的计算能力．