已知函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y）．

（Ⅰ）证明：函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y），
令x=0，得f（0）=f（y）+f（-y），…（1分）
再令y=x，得f（0）=f（x）+f（-x）．…①…（2分）
令y=0，得f（0）=f（x）+f（x）．…②…（3分）
①-②得f（-x）-f（x）=0，…（4分）
∴f（-x）=f（x）．…（5分）
故f（x）在R上是偶函数．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）在R上是偶函数，
所以f（x）的图象关于y轴对称．…（7分）
又因为f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
所以f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．…（8分）
∵ 2 a 2 +a+1=2( a 2 +
1
2 a+
1
16 -
1
16 )+1=2(a+
1
4 ) 2 +
7
8 ＞0 ，
-2a ² +4a-3=-2（a ² -2a+1-1）-3=-2（a-1） ² -1＜0，
∴2a ² -4a+3＞0．…（9分）
∵f（-2a ² +4a-3）=f（2a ² -4a+3）．
原不等式可化为f（2a ² +a+1）＜f（2a ² -4a+3）…（10分）
∴2a ² +a+1＜2a ² -4a+3．解之得a＜
2
5 ．…（11分）
故实数a的取值范围是 a＜
2
5 ．…（12分）