函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x

函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②

f(a)=2a
f(b)=2b ，或

f(a)=2b
f(b)=2a ．
①f（x）=x ² （x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，
则

f(a)=2a
f(b)=2b ，∴

a 2 =2a
b 2 =2b ，∴

a=0
b=2 ，
∴f（x）=x ² （x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=e ^x （x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，
则

f(a)=2a
f(b)=2b ，∴

e a =2a
e b =2b ，
构建函数g（x）=e ^x -x，∴g′（x）=e ^x -1，
∴函数在（-∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，
∴函数在x=0处取得极小值，且为最小值．
∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴e ^x -x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③f（x）=
4x
x 2 +1 （x≥0），f′（x）=
4( x 2 +1)-4x×2x
( x 2 +1 ) 2 =
4(1+x)(1-x)
( x 2 +1 ) 2 ，
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，
则

f(a)=2a
f(b)=2b ，∴


4a
a 2 +1 =2a

4b
b 2 +1 =2b ，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④f（x）=loga（ax-
1
8 ）（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，
则

f(a)=2a
f(b)=2b ，


f(m)=2m
f(n)=2n ，
∴

log a ( a m -
1
8 )=2m
log a ( a n -
1
8 )=2n ，
∴2m，2n是方程loga（ax-
1
8 ）=2x的两个根，
∴2m，2n是方程a2x-ax+
1
8 =0的两个根，
由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．
故答案为：①③④．