xzliuhui
幼苗
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1.设x,y,z为正实数
x-2y+3z=0
y = (x+3z)/2
y^2/xz= {(x+3z)/2}^2/(xz)
= (x^2+9z^2+6xz) / (4xz)
= 1/4(x/z+9z/x) + 6/4
= 1/4{(√(x/z) - 3√(z/x)}^2 + 6} + 6/4
= 1/4{(√(x/z) - 3√(z/x)}^2 + 6/4 + 6/4
= 1/4{(√(x/z) - 3√(z/x)}^2 + 3 ≥ 3
最小值3
2.
(a-2)x^2+2(a-2)x-4 = (a-2)(x+1)^2 - (a-2) -4 = (a-2)(x+1)^2 - (a+2)
首先,a=2时,(a-2)x^2+2(a-2)x-4 = 0+0-4 = -4<0恒成立;
a≠2时,必须f(x) = (a-2)(x+1)^2 - (a+2) 的图像始终在x轴下方
∴二次项系数a-2<0,极值-(a+2)<0
a<2,a>-2
∴-2<a<2
综上:∴-2<a ≤ 2
3.
a>0,b>0
1/a+1/b+2根号ab
= (1/√a-1/√b)^2 + 2/√(ab) + 2√(ab)
= (1/√a-1/√b)^2 + 2{1/√√(ab) -√√(ab)}^2 + 4
(1/√a-1/√b)^2 ≥0, 2{1/√√(ab) -√√(ab)}^2 ≥ 0
当a=b=1时取最小值4
4.
f﹙x﹚=x²-x-2>ax-5在x∈(0,2)上恒成立
相当于g(x) = x²-x-2 - ax + 5 = x² - (a+1)x + 3 >0在x∈(0,2)上恒成立
g(x)开口向上,对称轴x=(a+1)/2
假设(a+1)/2 ≤ 0,即a≤-1,区间(0,2)在对称轴右侧,g(x)单调增,最小值f(0) = 0+0+ 3恒>0
假设(a+1)/2≥2,即a≥3,区间(0,2)在对称轴左侧,g(x)单调减,最小值f(2) = 4-2(a+1)+3=5-2a>0,a<5/2,故无解
假设0<(a+1)/2<2,对称轴在区间内,必须极小值>0,{4*1*3-(a+1)^2}/4>0,-1-2√3<a<-1+2√3,故:-1<a<-1+2√3
综上:a <-1+2√3
1年前
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