（2011•保康县模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E

解题思路：（1）根据翻折的性质知：∠QAD=∠DAE=∠APB，由此可证得△QAD∽△APB，根据相似三角形所得比例线段即可求得y、x的函数关系式．
（2）由翻折的性质易证得△ADE≌△ADQ，可得QD=DE，即QE=2y，而△AQP的面积可由QE•BP的一半（即QD•BP）求得，由（1）知，QD•BP为定值即12，因此△APQ的面积是不会变化的．
（3）若⊙Q与直线AP相切，且半径为4，根据△APQ的面积即可求得AP的长，进而可得∠APB、∠QAD的度数，从而根据AD的长求得AQ的值；然后分⊙A与⊙Q内切、外切两种情况分类求解即可．

（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，（1分）
∴[DQ/AB＝
AD
BP]，即[y/3＝
4
x+4]，
∴y＝
12
x+4，（1分）
定义域为x＞0．（1分）

（2）不发生变化（1分）
证明如下：
∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；（1分）
∴S_△APQ=S_△AEQ+S_△EPQ=[1/2]QE•AD+[1/2]QE•CP=[1/2]QE（AD+CP）=[1/2]QE•BP=DQ•BP=y×（x+4）=12；
所以△APQ的面积没有变化．

（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4（1分）
∵S_△APQ=12，
∴AP=6（1分）
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°（1分）
∴∠PAQ=60°，此时AD=4，DE=
4
3
3，
∴AQ=EQ=2DE=
8
3
3（1分）
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即
8
3
3=r+4，
∴r=
8
3
3−4．（1分）
（ii）当⊙A与⊙Q内切时，AQ=r-4，即
8

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系．

考点点评： 此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法以及圆与圆的位置关系等知识，综合性强，难度较大．