已知a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数．

解题思路：（1）由题意可知，f（-x）=-f（x）对定义域内的任意x成立，代入可求a，然后求出函数的定义域即可求解b
（2）利用函数的单调性的定义直接进行判断即可

（1）f(x)=lg
1+ax
1+2x，x∈（-b，b）是奇函数，
等价于对于任意-b＜x＜b都有

f(-x)=-f(x)(1)

1+ax
1+2x＞0(2)成立，（1）
式即为 lg
1-ax
1-2x=-lg
1+ax
1+2x=lg
1+2x
1+ax．
∴[1-ax/1-2x=
1+2x
1+ax]，即a²x²=4x²，
此式对于任意x∈（-b，b）都成立等价于a²=4，
因为a≠2，所以a=-2，所以f(x)=lg
1-2x
1+2x；
代入（2）式得：[1-2x/1+2x＞0，
即-
1
2＜x＜
1
2]对于任意x∈（-b，b）都成立，
相当于-
1
2≤-b＜b≤
1
2，从而b的取值范围为(0，
1
2]；
（2）对于任意x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈(0，
1
2]，
得-
1
2≤-b＜b≤
1
2，所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
从而f（x₂）-f（x₁）=lg
1-2x2
1+2x2-lg
1-2x1
1+2x1
=lg
(1-2x2)(1+2x1)
(1+2x2)(1-2x1)＜lg1=0，
因此f（x）在（-b，b）是减函数；

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义并能灵活利用