如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点．已知PB=15，BQ=20，P

解题思路：由菱形性质知PR⊥SQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25．由对称性知CQ、CR的长为x、y．则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt△的面积之和．设AS=x、AP=y，即可列出关于x、y的关系式，解得x、y即可计算m+n的值．

设AS=x、AP=y，
由菱形性质知PR⊥SQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25．由对称性知CQ、CR的长为x、y．则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt△的面积之和．则有：
（20+x）（15+y）=6×[1/2]×20×15+2×[1/2]xy
则有3x+4y=120 ①
又x²+y²=625 ②
得x₁=20x₂=[44/5]
y₁=15y₂=[117/5]
当x=20时BC=x+BQ=40这与PR=30不合
故x=[44/5]y=[117/5]
∴矩形周长为2（15+20+x+y）=[672/5]
即：m+n=677

点评：
本题考点： 菱形的性质；勾股定理；矩形的性质．

考点点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考察额菱形各边长相等、对角线互相垂直的性质，本题中根据x、y的关系式求x、y的值是解题的关键．