如下图所示,已知正方形的面积是120平方厘米,EF分别为AB,BC的中点,求阴影的面积.

检举|2011-05-11 13:34
设任意长方形ABCD,AB=CD=a,BC=AD=b,S⠀ABCD=120平方厘米,E、F分别是BC、CD的中点.
∵ 任意长方形ABCD,AB=CD=a,BC=AD=b,S⠀ABCD=120平方厘米,
E、F分别是BC、CD的中点
∴ DE=EC=AB×1/2=CD×1/2=a×1/2
BF=FC=BC×1/2=AD×1/2=b×1/2
∠ABD=∠BCD=∠CDA=∠DAB=RT∠(直角)
∵ 任意长方形ABCD,S⠀ABCD=120平方厘米
∴ S⠀ABCD=AB×BC=CD×AD=120平方厘米
a×b=120平方厘米
（1）求△ECF的面积S△ECF：
S△ECF=FC×EC×(1/2)
=(CD×1/2)×(BC×1/2)×(1/2)
= CD×BC×(1/8 )
=a×b ×(1/8 ) 又∵ a×b=120平方厘米
∴ S△ECF=120平方厘米×(1/8 )
=15平方厘米
（2）求五边形ABFDE的面积S五边形ABFDE
S五边形ABFDE=S⠀ABCD- S△ECF
=120-15
=105平方厘米

这是一道小学奥数题，利用“沙漏”及“燕尾”定理完成的。

连接BH，根据“沙漏定理”得，BG:GD=BE:CD=1:2，根据“燕尾定理”，把三角形BHC看成1份，则三角形DHC就是2份，又是“燕尾”得三角形BHD也是2份，因此（1+2+2）×2=10份，每份就是120÷10=12。

三角形BHF等于1/2三角形BHC，则为1/2份；三角形BGH等于三角形BHD的1/3（燕尾），BHD为2份，那么三角形BHG=2/3 份，则有四边形BGHF面积=三角形BHG+三角形BHF=1/2 +2/3 =7/6，12× 7/6=14。