已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上．

（Ⅰ）由于圆心在直线y=x上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，a）． 再由圆C经过A（0，3）、B（3，2）两点，
可得|CA|=|CB|，∴|CA| ² =|CB| ² ，∴（a-0） ² +（a-3） ² =（a-3） ² +（a-2） ² ．
解得 a=1，故圆心C（1，1），半径r=
(a-3 ) 2 +(a-2 ) 2 =
5 ，
故圆C的方程为 （x-1） ² +（y-1） ² =5，
（Ⅱ）圆心C（1，1），半径r=
(a-3 ) 2 +(a-2 ) 2 =
5 ，
圆心到直线y=2x+m的距离为：
|2-1+m|

2 =
|1+m|

2
直线被圆C所截得的弦长为4，所以半弦长为：2；
所以（
5 ） ² =2 ² +（
|1+m|

2 ） ² ，
所以实数m的值为-1 ±
2 ．