f(x)=x*3+bx*2+cx+d在（1,f(1)）处的切线方程为12x+y-13=0且它们只有一个公共点,求f(x)

f'(x)=3x²+2bx+c
∵在（1,f(1)）处的切线方程为12x+y-13=0
∴12+f(1)-13=0
∴f(1)=1 且f'(1)=k=-12
∴1+b+c+d=1
3+2b+c=-12
∴c=-15-2b,d=15+b
∴f(x)=x³+bx²-(15+2b)x+15+b
y=-12x+13与y=x³+bx²-(15+2b)x+15+b
联立,消去y得
x³+bx²-(15+2b)x+15+b=-12x+13
x³+bx²-(3+2b)x+2+b=0
（x-1)[x²+(b+1)x-2-b]=0
x-1=0或x²+(b+1)x-2-b=0
∵曲线与12x+y-13=0只有一个公共点
∴x²+(b+1)x-2-b=0无解或有两个相等的解x=1
∵Δ=(b+1)²+4(2+b)=(b+3)²≥0
∴只有Δ=0,b=-3,有两个相等的解x=1
∴c=-15+6=-9,d=15-3=12
∴f(x)=x³-3x²-9x+12
f'(x)=3x²-6x-9=3(x²-2x-3)=3(x+1)(x-3)
f(x)在(-∞,-1)递增,在（-1,3）递减,在(3,+∞)递增
∴x=-1,x=3分别为f(x)的极大值点和极小值点
∴f(x)的极值之和f(-1)+f(3)=17-15=2

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