已知一系列的抛物线C n 的方程为y=a n x 2 （n∈N * ，a n ＞1），过点A n （n，a n n 2

（1）A _n （n，a _n n ² ）在抛物线C _n 上，
∵y=a _n x ² ，
∴y ^′ =2a _n x，
则切线l _n 的斜率为2a _n n，
切线方程为y-a _n n ² =2 a _n n（x-n）…（2分）
令x=0，得y=-a _n n ² ，，
∴B _n （0，-a _n n ² ），
又F _n （0，
1
4 a n ）
∴S _△ A n B n F n =
1
2 （
1
4 a n +a _n n ² ）n=n ³
∴
1
4 a n +a _n n ² =2n ² ，即4n ² a _n ² -8n ² a _n +1=0，…（3分）
∴△=64n ⁴ -16n ² =16n ² （4n ² -1）＞0，
∵a _n ＞1，
∴a _n =1+
1
2n
4 n 2 -1 …（4分）
（2）证明：∵a _n =1+
1
2n
4 n 2 -1 =1+
1-
1
4 n 2 ，
{a _n }为递增数列，
∴a _n ≥1+
1-
1
4 =1+

3
2 ．…（6分）
又a _n ＜1+
1 =2，
∴1+

3
2 ≤a _n ＜2．…（8分）
（3）．证明： b n =2 a n -
a 2n =
1
4 n 2 …（9分）
∴ b 1 +
2 b 2 +
3 b 3 +…+
n b n =
1
4 (
1
1 2 +

2
2 2 +

3
3 2 +…+

n
n 2 )
∵k≥2时，

k
k 2 =
1

k •
k •
k =
2
(
k +
k )
k •
k ＜
2
(
k +
k-1 )
k •
k-1
=
2(
k -
k-1 )

k •
k-1 =2(
1

k-1 -
1

k ) …（12分）
∴ b 1 +
2 b 2 +
3 b 3 +…+
n b n ≤
1
4 [1+2(1-
1

2 +
1

2 -
1

3 +…+
1

k-1 -
1

k )]
=
1
4 [1+2(1-
1

n )]=
1
4 (3-
2

n )＜
3
4 …（14分）