（2009•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其
（2009•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
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（1）由题意得
b
2a＝1
9a−3b+c＝0
c＝−2，
解得
a＝
2
3
b＝
4
3
c＝−2，
∴此抛物线的解析式为y=
2
3x2+
4
3x-2．
（2）连接AC、BC．
因为BC的长度一定，
所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b，
则
−3k+b＝0
b＝−2，
解得
k＝−
2
3
b＝−2，
∴此直线的表达式为y=-
2
3x-2，
把x=-1代入得y=-
4
3
∴P点的坐标为（-1，-
4
3）．
（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴
OD
OC＝
OE
OA，即
2−m
2＝
OE
3，
∴OE=3-
3
2m，OA=3，AE=
3
2m，
∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
=
1
2×3×2-
1
2×（3-
3
2m）×（2-m）-
1
2×
3
2m×
4
3-
1
2×m×1
=-
3
4m2+
3
2m=-
3
4（m-1）2+
3
4
∵−
3
4＜0
∴当m=1时，S最大=
3
4．
b
2a＝1
9a−3b+c＝0
c＝−2，
解得
a＝
2
3
b＝
4
3
c＝−2，
∴此抛物线的解析式为y=
2
3x2+
4
3x-2．
（2）连接AC、BC．
因为BC的长度一定，
所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b，
则
−3k+b＝0
b＝−2，
解得
k＝−
2
3
b＝−2，
∴此直线的表达式为y=-
2
3x-2，
把x=-1代入得y=-
4
3
∴P点的坐标为（-1，-
4
3）．
（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴
OD
OC＝
OE
OA，即
2−m
2＝
OE
3，
∴OE=3-
3
2m，OA=3，AE=
3
2m，
∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
=
1
2×3×2-
1
2×（3-
3
2m）×（2-m）-
1
2×
3
2m×
4
3-
1
2×m×1
=-
3
4m2+
3
2m=-
3
4（m-1）2+
3
4
∵−
3
4＜0
∴当m=1时，S最大=
3
4．
1年前
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