（2007•汕头二模）定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），

解题思路：（I）把函数f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））代入已知的新定义，根据对数的运算法则化简，得到f（x）的解析式，把x=0代入f（x）的解析式即可求出m的值，求出f（x）的导函数，把x=n代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率，然后用切点坐标表示出斜率，两者相等列出n与t的关系式，把切点坐标代入f（x）得到另一个关于n与t的关系式，两者联立即可求出n与t的值，确定出点B的坐标，然后利用定积分的方法即可求出曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S；
（II）利用题中的定义确定出g（x）的解析式，求出g（x）的导函数，把x=x₀代入导函数求出的导函数值即为-8，列出一个关系式，记作（1），把-4＜x₀＜-1记作（2），由log₂（x³+ax²+bx+1）大于0，把x=x₀代入得到一个不等式，记作（3），由（1）解出b，代入（3）得到一个不等式与（2）联立，把（2）中的两个端点代入不等式中即可得到a的取值范围．
（III）令函数h（x）=

ln(1+x)

x

，求出h（x）的导函数，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的导函数，根据p（x）导函数的正负，判断p（x）的增减性，进而得到p（x）小于0，且得到h（x）导函数的正负，得到h（x）的增减性，利用函数的增减性即可得证．

（Ⅰ）∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f(x)＝F(1，log2(x2−4x+9))＝2log2(x2−4x+9)＝x2−4x+9，
故A（0，9），…（1分）
又过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B（n，t） （n＞0），f'（x）=2x-4．
∴

t＝n2−4n+9

t
n＝2n−4，
解得B（ 3，6 ），…（2分）
∴S＝
∫30(x2−4x+9−2x)dx＝(
x3
3−3x2+9x)|03＝9．…（4分）
（Ⅱ）g(x)＝F(1，log2(x3+ax2+bx+1))＝x3+ax2+bx+1，
设曲线C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在实数b使得

3x02+2ax0+b＝−8(1)
−4＜x0＜−1(2)
x03+ax02+bx0＞0(3)有解，…（6分）
由（1）得b＝−8−3x02−2ax

点评：
本题考点： 不等式的证明；定积分；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用定积分求曲线围成的面积，会根据导函数的正负确定函数的单调性，是一道中档题．