已知定义在R上函数f(x)＝b−2xa+2x+1是奇函数．

（1）∵f（x）为奇函数，即f（0）=0
∴b=1，
且f（-x）+f（x）=0
∴a=2
∴f(x)＝
1−2x
2x+1+2＝
1
2x+1−
1
2（2分）
易证f（x）在R上单调递减（3分）
由f（t²-2t）＜f（k-2t²）得t²-2t＞k-2t²即k＜3t²-2t恒成立
又3t2−2t＝3(t−
1
3)2−
1
3≥−
1
3
∴k＜−
1
3（5分）
（2）由f(x)＝
1
2x+1−
1
2单调递减可知f(x)∈(−
1
2，
1
2)
又f(x)＜m2+2mt+t+
5
2恒成立
∴只需[1/2≤m2+2mt+t+
5
2]（7分）
即m²+2mt+t+2≥0（m∈R）恒成立
∴4t²-4（t+2）≤0
即t²-t-2≤0∴t∈[-1，2]（9分）
（3）∵g（x）为奇函数g（-1）+g（1）=0
又g（x）的周期为2∴g（-1）=g（-1+2）=g（1）
∴g（-1）=g（1）=0（10分）
当x∈（-1，1）时g(x)＝f(x)−x＝
1
2x+1−
1
2−x为单调递减
∴g（0）=0（11分）
由g（x）的周期为2，∴所有解为x=n（n∈Z）（14分）

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性、单调性与周期性的综合应用，（1）的关键是确定函数f（x）的解析式及单调性，（2）的关键是求出不等式左边对应函数的值域，（3）的关键是求出一个周期内g（x）=0的解的个数．

1年前

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