数列递推关系的分析与求解
已知数列{an}满足初始条件a1=1, a2=3，以及递推关系式a(n+2)=3a(n+1)-2an。这是一个典型的二阶线性齐次递推数列问题。要深入理解这个数列的性质并求出其通项公式，我们可以采用特征方程法。首先，根据递推式a(n+2)-3a(n+1)+2an=0，构造对应的特征方程：r² - 3r + 2 = 0。解此一元二次方程，得到两个不相等的实根r1=1和r2=2。这意味着数列的通项公式具有形式：an = C₁ * (1)^(n-1) + C₂ * (2)^(n-1) = C₁ + C₂ * 2^(n-1)，其中C₁和C₂为待定常数。
确定通项公式与数列性质
接下来，利用已知的初始条件a1=1和a2=3来确定常数C₁和C₂。将n=1和n=2分别代入通项形式：当n=1时，a1 = C₁ + C₂ * 2⁰ = C₁ + C₂ = 1；当n=2时，a2 = C₁ + C₂ * 2¹ = C₁ + 2C₂ = 3。解这个二元一次方程组，用第二式减去第一式可得C₂=2，再代回第一式得C₁=-1。因此，数列{an}的通项公式为：an = -1 + 2 * 2^(n-1) = 2^n - 1。
由此通项公式，我们可以清晰地看到数列的本质：它是一个以2为底的指数函数减去常数1。我们可以验证前几项：a1=2¹-1=1，a2=2²-1=3，a3=2³-1=7，a4=2⁴-1=15，完全符合递推关系。这个数列是一个快速增长数列，其相邻两项的差a(n+1)-an = (2^(n+1)-1) - (2^n-1) = 2^n，恰好构成一个等比数列。该问题的求解过程展示了如何将递推关系转化为明确的通项公式，从而能直接计算任意项的值并分析其数学特性。