已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
| 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． （1）证明E，F，G，H四点共面； （2）证明BD ∥ 平面EFGH． |
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如图，连结EG，BG．
（1）∵BG是△BCD的中线，可得
BG =
1
2 （
BC +
BD ）
∴
EG =
EB +
BG =
EB +
1
2 （
BC +
BD ）
∵
BF =
1
2
BC ，
EH =
1
2
BD
∴
EG =
EB +
BF +
EH =
EF +
EH ，
根据向量共面的充要条件，得
可得E，F，G，H四点共面．
（2）∵
EH =
EA +
AH ，
EH =
EG +
GH
∴
BD =
BA +
AD =2
EA +2
AH =2
EH =2（
EG +
GH ）=2
EG +2
GH ，
结合
EG ，
GH 不共线，可得
BD 与
EG ，
GH 共面．
又∵BD?面EFGH，∴BD ∥ 面EFGH．
（1）∵BG是△BCD的中线，可得
BG =
1
2 （
BC +
BD ）
∴
EG =
EB +
BG =
EB +
1
2 （
BC +
BD ）
∵
BF =
1
2
BC ，
EH =
1
2
BD
∴
EG =
EB +
BF +
EH =
EF +
EH ，
根据向量共面的充要条件，得
可得E，F，G，H四点共面．
（2）∵
EH =
EA +
AH ，
EH =
EG +
GH
∴
BD =
BA +
AD =2
EA +2
AH =2
EH =2（
EG +
GH ）=2
EG +2
GH ，
结合
EG ，
GH 不共线，可得
BD 与
EG ，
GH 共面．
又∵BD?面EFGH，∴BD ∥ 面EFGH．
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