在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，1），B点与A点关于坐标原点对称，过动点P作x轴的垂线，垂足为C点，而点D满足2PD

在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，1），B点与A点关于坐标原点对称，过动点P作x轴的垂线，垂足为C点，而点D满足2
PD
＝
PC
，且有
PA
•
PB
＝2，
（1）求点D的轨迹方程；
（2）求△ABD面积的最大值；
（3）斜率为k的直线l被（1）中轨迹所截弦的中点为M，若∠AMB为直角，求k的取值范围．
165122003 1年前 已收到1个回答 举报
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yinger830 幼苗

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解题思路：（1）根据
PA
•
PB
＝2，求得P（x'，y'）满足的方程：（x'）2+（y'）2=4…（*）．再由2
PD
＝
PC]，可得x'=2x-1，y'=2y，代入（*）式得（2x-1）2+（2y）2=4，化简即得点D的轨迹方程．
（2）根据D点满足的方程，设D（[1/2]+cosα，sinα），用点到直线的距离公式求得D到AB距离的最大值为1+
2
2
，由此即可得到△ABD面积的最大值；
（3）∠AMB为直角，则点M在以AB为直径的圆上，从而得到满足条件的M在位于圆N：（x-[1/2]）2+y2=1在x2+y2=2内的劣弧上，求出界点处的切线斜率，再观察直线l的斜率的变化，可得斜率k的取值范围．

（1）设P（x'，y'），得

PA=（1-x'，1-y'），

PB=（-1-x'，-1-y'），
所以

PA•

PB=（1-x'）（-1-x'）+（1-y'）（-1-y'）=（x'）2+（y'）2-2
∵

PA•

PB＝2，
∴点P的轨迹方程为（x'）2+（y'）2-2=2，即（x'）2+（y'）2=4…（*）
再设D（x'，y'），由2

PD＝

PC得D为PC的中点
∴x=[1/2(x′+1)，y'=
1
2y′．
可得x'=2x-1，y'=2y．代入（*）式得（2x-1）2+（2y）2=4
化简得点D的轨迹方程：（x-

点评：
本题考点： 轨迹方程；平面向量数量积的运算．

考点点评： 本题以向量运算为载体，求动点的轨迹方程并求动直线斜率k的取值范围，着重考查了向量的数量积、直线与圆的位置关系和动点轨迹方程求法等知识，属于难题．

1年前

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